تعلّم حساب التردد الزاوي الطبيعي
يمكن لكتلة على مسند مرن أن تهتز بعد اضطرابها. يصف ترددها الزاوي الطبيعي غير المخمد سرعة تقدم طور الاهتزاز، لا عدد الدورات الكاملة في الثانية.
ماذا يقول القانون؟
اقسم الصلابة k على الكتلة m وخذ الجذر التربيعي: ωn = √(k/m). تعيد الصلابة الإزاحة نحو الاتزان بينما تقاوم الكتلة التسارع؛ وتحدد نسبتهما المقياس الزمني للاهتزاز.
افهم الرموز بلغة بسيطة
- k
- الصلابة
قوة الاستعادة لكل وحدة إزاحة لدرجة الحرية المختارة؛ ليست معامل مرونة المادة.
N/mاستخدم N/m كوحدة أساسية معروضة هنا. استخدم k بوحدة N/m وm بالكيلوغرام. تكون وحدة k/m هي s⁻²، ولذلك يُعبّر عن جذرها بوحدة rad/s. الكتلة ليست الوزن؛ فيجب قسمة القوة بالنيوتن على g أولاً للحصول على الكيلوغرام.
- m
- الكتلة
الكتلة العطالية للنظام الديناميكي المحدد، لا قوة وزنه. ضرب التسارع الطيفي في الكتلة ينتج قوة.
kgاستخدم kg كوحدة أساسية معروضة هنا. استخدم k بوحدة N/m وm بالكيلوغرام. تكون وحدة k/m هي s⁻²، ولذلك يُعبّر عن جذرها بوحدة rad/s. الكتلة ليست الوزن؛ فيجب قسمة القوة بالنيوتن على g أولاً للحصول على الكيلوغرام.
- ωn
- الناتج المطلوب
التردد الزاوي الطبيعي. تنتج الكتلة والصلابة الموجبتان تردداً زاويّاً غير مخمد حقيقياً وموجباً.
rad/s
وحّد الوحدات أولاً
استخدم k بوحدة N/m وm بالكيلوغرام. تكون وحدة k/m هي s⁻²، ولذلك يُعبّر عن جذرها بوحدة rad/s. الكتلة ليست الوزن؛ فيجب قسمة القوة بالنيوتن على g أولاً للحصول على الكيلوغرام.
الافتراضات قبل الحساب
نفترض نموذج كتلة–نابض خطياً ذا درجة حرية واحدة وكتلة وصلابة فعالتين موجبتين، وحركة صغيرة ووحدات متوافقة. يجب أن ترتبط الكتلة والصلابة المختارتان بالإزاحة المعممة نفسها.
لنحلّ مثالاً معاً
اقرأ المعطيات، واتبع كل عملية، ثم افحص معنى النتيجة.
اقرأ المعطيات التالية كمسألة دراسية واحدة. احسب المطلوب وفسّر النتيجة بوحدة الخرج، ثم اتبع الخطوات قبل الانتقال إلى المثال الثاني.
- k · الصلابة
- 1000000 N/m
- m · الكتلة
- 10000 kg
قارن صلابة الاسترجاع بالقصور الذاتي
تحدد الصلابة مقسومة على الكتلة الفعالة الموافقة مربع التردد الزاوي الطبيعي.
(1000000) ÷ (10000) = 100 s⁻²خذ الجذر التربيعي الموجب
تنتج الكتلة والصلابة الموجبتان تردداً زاويّاً غير مخمد حقيقياً وموجباً.
√((100)) = 10 rad/s
هل تبدو نتيجة المثال منطقية؟
تعطي الصلابة ذات الأربعة أمثال ωn مضاعفاً، وتخفض الكتلة ذات الأربعة أمثال قيمته للنصف. ويجب أن يساوي حاصل التردد الزاوي والفترة الطبيعية 2π.
مثال ثانٍ مشروح — معطيات مختلفة
في المسألة الثانية تتغيّر بعض المعطيات. توقّع اتجاه تغيّر الناتج، ثم احسبه من المعطيات الجديدة دون إعادة استخدام إجابة المثال الأول.
- k · الصلابة
- 2000000 N/m
- m · الكتلة
- 8000 kg
قارن صلابة الاسترجاع بالقصور الذاتي
تحدد الصلابة مقسومة على الكتلة الفعالة الموافقة مربع التردد الزاوي الطبيعي.
(2000000) ÷ (8000) = 250 s⁻²خذ الجذر التربيعي الموجب
تنتج الكتلة والصلابة الموجبتان تردداً زاويّاً غير مخمد حقيقياً وموجباً.
√((250)) ≈ 15.8113883 rad/s
جرّب قيمك الآن
غيّر قيمة أو وحدتها؛ تعرض الطريقة نفسها حسابك خطوة بخطوة.
تتحدّث النتيجة عند الحساب فقط، ويبقى المثال المشروح أعلاه دون تغيير.
دورك الآن — اختبر فهمك
حلّ هذه المسألة المستقلة بنفسك باستخدام القيم أدناه فقط؛ فمعطيات المثالين المشروحين مختلفة. اكتب الناتج المطلوب بالوحدة التي تختارها.
- k · الصلابة
- 1500000 N/m
- m · الكتلة
- 12000 kg
أوجد: تعلّم حساب التردد الزاوي الطبيعي
تلميح دون كشف الإجابة
اقسم الصلابة k على الكتلة m وخذ الجذر التربيعي: ωn = √(k/m). تعيد الصلابة الإزاحة نحو الاتزان بينما تقاوم الكتلة التسارع؛ وتحدد نسبتهما المقياس الزمني للاهتزاز.
استخدم k بوحدة N/m وm بالكيلوغرام. تكون وحدة k/m هي s⁻²، ولذلك يُعبّر عن جذرها بوحدة rad/s. الكتلة ليست الوزن؛ فيجب قسمة القوة بالنيوتن على g أولاً للحصول على الكيلوغرام.
اعرض حل التدريب كاملاً
قارن الخطوات بحلك؛ عرض الحل لا يضع علامة إكمال للدرس.
قارن صلابة الاسترجاع بالقصور الذاتي
تحدد الصلابة مقسومة على الكتلة الفعالة الموافقة مربع التردد الزاوي الطبيعي.
(1500000) ÷ (12000) = 125 s⁻²خذ الجذر التربيعي الموجب
تنتج الكتلة والصلابة الموجبتان تردداً زاويّاً غير مخمد حقيقياً وموجباً.
√((125)) ≈ 11.18033989 rad/s
تجنّب الخطأ الشائع
لا تهمل الجذر التربيعي، ولا تدخل كتلة بالطن كأنها بالكيلوغرام، ولا تسمِّ rad/s هرتز. اقسم ωn على 2π للحصول على التردد الاعتيادي.
متى تصلح الطريقة، وما حدودها؟
هذا تردد طبيعي غير مخمد لنموذج ذي إحداثي واحد، وليس كل نمط لمنشأ حقيقي أو تردد قوة الإثارة. تتطلب الأنظمة متعددة الدرجات تحليل القيم الذاتية، وتغيّر الصلابة غير الخطية العلاقة.
للدراسة والفهم، لا لاعتماد منشأ حقيقي أو عملية في الموقع أو تصميم. تتطلب الأعمال الفعلية الكود والملحق الوطني الصحيحين ومراجعة مهنية.
فهمت فكرة. واصل التعلّم.
تُحفظ العلامة الاختيارية في هذا المتصفح فقط. هي ملاحظة تقدّم شخصية وليست شهادة.
المصادر وللمزيد من القراءة
تفتح المراجع في تبويب جديد وتشرح المبادئ الأساسية. النص التعليمي والأمثلة هنا من إعداد SimpleFlick؛ ولا يعني الاستشهاد اعتماد الجهات المصدر لهذه الحاسبة.
موضوع القراءة: التردد الزاوي الطبيعي. الاهتزاز الحر بدرجة حرية واحدة والتردد الطبيعي والدور والتخميد اللزج. التردد الزاوي وعدد الدورات في الثانية كميتان مختلفتان.
آخر تحديث للدرس: · فُحص المثالان والمسألة التدريبية المستقلة مقابل تنفيذ عددي مستقل عالي الدقة. يتحقق ذلك من الحساب للنموذج المحدد، ولا يُعد اعتماداً هندسياً.