تعلّم حساب مساحة المضلع — طريقة رباط الحذاء
يحيط حد موصوف بإحداثيات مساحية مرتبة بمساحة. تجمع طريقة رباط الحذاء حاصل الضرب الاتجاهي الموقّع للرؤوس المتجاورة، وتغلق الضلع الأخير، ثم تأخذ نصف القيمة المطلقة للمجموع.
ماذا يقول القانون؟
اكتب كل نقطة بالشكل x,y بترتيب الحدود. لكل ضلع من النقطة i إلى التالية احسب xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ. أدرج الضلع من الأخيرة إلى الأولى. اجمع المساهمات قبل أخذ القيمة المطلقة والقسمة على 2؛ ولا تحول الحدود السالبة منفردةً إلى موجبة.
افهم الرموز بلغة بسيطة
- coordinates
- الإحداثيات x,y — نقطة في كل سطر
رؤوس الحد المستوي بالترتيب. أدخل x,y بالمتر، زوجاً في كل سطر؛ يُغلق الضلع الأخير على الأول دون أضلاع متقاطعة أو ثقوب.
إحداثيات بالمتراستخدم m coordinates كوحدة أساسية معروضة هنا. استخدم إحداثيي x وy المسقطين المستويين بالمتر، بنقطة واحدة في كل سطر وفاصلة تفصل الإحداثيين. تكون المساحة بوحدة m². ليست خطوط العرض والطول بالدرجات إحداثيات مترية صالحة لهذه الصيغة.
- A
- الناتج المطلوب
مساحة المضلع — طريقة رباط الحذاء. يُجعل المجموع وحده موجباً؛ فمساهمات الأضلاع السالبة لازمة لصحة مساحة المضلع المقعر.
m²
وحّد الوحدات أولاً
استخدم إحداثيي x وy المسقطين المستويين بالمتر، بنقطة واحدة في كل سطر وفاصلة تفصل الإحداثيين. تكون المساحة بوحدة m². ليست خطوط العرض والطول بالدرجات إحداثيات مترية صالحة لهذه الصيغة.
الافتراضات قبل الحساب
نفترض مضلعاً بسيطاً غير متقاطع مع نفسه وله ثلاثة رؤوس متميزة على الأقل، مرتبة مع عقارب الساعة أو عكسها. تسمح الطريقة بالمضلعات المقعرة. تقبل الحاسبة حتى 200 رأس وتغلق الحد تلقائياً.
لنحلّ مثالاً معاً
اقرأ المعطيات، واتبع كل عملية، ثم افحص معنى النتيجة.
أُعطيت قطعة مستطيلة بأركانها الأربعة المرتبة. احسب مساحتها الأفقية وتحقق بمقارنتها بالطول مضروباً في العرض.
- coordinates · الإحداثيات x,y — نقطة في كل سطر
0,0 10,0 10,5 0,5
إحداثيات بالمتر
تتبّع كل ضلع حدّي
اطرح إحداثيي النقطة الأولى من جميع الرؤوس قبل الضرب. يحفظ هذا الانتقال المساحة ويقلل فقدان الدقة مع إحداثيات الخرائط الكبيرة. أدرج ضلع الإغلاق، وخذ القيمة المطلقة بعد الجمع فقط.
| الضلع | (xᵢ, yᵢ) | (xᵢ₊₁, yᵢ₊₁) | xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ (m²) |
|---|---|---|---|
| 1 → 2 | (0, 0) | (10, 0) | 0 |
| 2 → 3 | (10, 0) | (10, 5) | 50 |
| 3 → 4 | (10, 5) | (0, 5) | 50 |
| 4 → 1 | (0, 5) | (0, 0) | 0 |
اجمع المساهمة الموقعة لكل ضلع حدّي
يعرض جدول الإحداثيات كل حاصل ضرب اتجاهي بما فيه الضلع الأخير العائد إلى النقطة الأولى.
(100) = 100 m²خذ نصف القيمة المطلقة للمجموع الموقّع
يُجعل المجموع وحده موجباً؛ فمساهمات الأضلاع السالبة لازمة لصحة مساحة المضلع المقعر.
abs((100)) ÷ 2 = 50 m²
هل تبدو نتيجة المثال منطقية؟
يعكس قلب ترتيب الحد كله إشارة المجموع ولا يغير المساحة النهائية. كما أن إزاحة كل النقاط بالمقدار نفسه لا تغيّر المساحة؛ ويزيح التنفيذ أصل الإحداثيات داخلياً لتقليل فقد الدقة بسبب الطرح.
مثال ثانٍ مشروح — معطيات مختلفة
تمثل قطعة على شكل L بستة أركان مرتبة. احسب مساحتها دون ملء الركن المستطيل المفقود.
- coordinates · الإحداثيات x,y — نقطة في كل سطر
0,0 6,0 6,2 2,2 2,5 0,5
إحداثيات بالمتر
تتبّع كل ضلع حدّي
اطرح إحداثيي النقطة الأولى من جميع الرؤوس قبل الضرب. يحفظ هذا الانتقال المساحة ويقلل فقدان الدقة مع إحداثيات الخرائط الكبيرة. أدرج ضلع الإغلاق، وخذ القيمة المطلقة بعد الجمع فقط.
| الضلع | (xᵢ, yᵢ) | (xᵢ₊₁, yᵢ₊₁) | xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ (m²) |
|---|---|---|---|
| 1 → 2 | (0, 0) | (6, 0) | 0 |
| 2 → 3 | (6, 0) | (6, 2) | 12 |
| 3 → 4 | (6, 2) | (2, 2) | 8 |
| 4 → 5 | (2, 2) | (2, 5) | 6 |
| 5 → 6 | (2, 5) | (0, 5) | 10 |
| 6 → 1 | (0, 5) | (0, 0) | 0 |
اجمع المساهمة الموقعة لكل ضلع حدّي
يعرض جدول الإحداثيات كل حاصل ضرب اتجاهي بما فيه الضلع الأخير العائد إلى النقطة الأولى.
(36) = 36 m²خذ نصف القيمة المطلقة للمجموع الموقّع
يُجعل المجموع وحده موجباً؛ فمساهمات الأضلاع السالبة لازمة لصحة مساحة المضلع المقعر.
abs((36)) ÷ 2 = 18 m²
جرّب قيمك الآن
غيّر قيمة أو وحدتها؛ تعرض الطريقة نفسها حسابك خطوة بخطوة.
تتحدّث النتيجة عند الحساب فقط، ويبقى المثال المشروح أعلاه دون تغيير.
دورك الآن — اختبر فهمك
تستخدم قطعة مثلثة مجموعة مختلفة من ثلاثة أركان. أوجد مساحة مسقطها وقارن ناتجك بنصف القاعدة مضروباً في الارتفاع العمودي.
- coordinates · الإحداثيات x,y — نقطة في كل سطر
0,0 8,0 3,4
إحداثيات بالمتر
أوجد: تعلّم حساب مساحة المضلع — طريقة رباط الحذاء
تلميح دون كشف الإجابة
اكتب كل نقطة بالشكل x,y بترتيب الحدود. لكل ضلع من النقطة i إلى التالية احسب xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ. أدرج الضلع من الأخيرة إلى الأولى. اجمع المساهمات قبل أخذ القيمة المطلقة والقسمة على 2؛ ولا تحول الحدود السالبة منفردةً إلى موجبة.
استخدم إحداثيي x وy المسقطين المستويين بالمتر، بنقطة واحدة في كل سطر وفاصلة تفصل الإحداثيين. تكون المساحة بوحدة m². ليست خطوط العرض والطول بالدرجات إحداثيات مترية صالحة لهذه الصيغة.
اعرض حل التدريب كاملاً
قارن الخطوات بحلك؛ عرض الحل لا يضع علامة إكمال للدرس.
تتبّع كل ضلع حدّي
اطرح إحداثيي النقطة الأولى من جميع الرؤوس قبل الضرب. يحفظ هذا الانتقال المساحة ويقلل فقدان الدقة مع إحداثيات الخرائط الكبيرة. أدرج ضلع الإغلاق، وخذ القيمة المطلقة بعد الجمع فقط.
| الضلع | (xᵢ, yᵢ) | (xᵢ₊₁, yᵢ₊₁) | xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ (m²) |
|---|---|---|---|
| 1 → 2 | (0, 0) | (8, 0) | 0 |
| 2 → 3 | (8, 0) | (3, 4) | 32 |
| 3 → 1 | (3, 4) | (0, 0) | 0 |
اجمع المساهمة الموقعة لكل ضلع حدّي
يعرض جدول الإحداثيات كل حاصل ضرب اتجاهي بما فيه الضلع الأخير العائد إلى النقطة الأولى.
(32) = 32 m²خذ نصف القيمة المطلقة للمجموع الموقّع
يُجعل المجموع وحده موجباً؛ فمساهمات الأضلاع السالبة لازمة لصحة مساحة المضلع المقعر.
abs((32)) ÷ 2 = 16 m²
تجنّب الخطأ الشائع
لا ترتب النقاط بمجرد إحداثي x، ولا تهمل ضلع الإغلاق، ولا تأخذ القيمة المطلقة لكل مساهمة ضلع. استخدم الفاصلة لفصل الإحداثيين لا لفصل الآلاف أو كعلامة عشرية.
متى تصلح الطريقة، وما حدودها؟
تتطلب الفتحات والقطع المنفصلة المتعددة معالجة مساحة موقعة منفصلة، ولا يمثلها حد واحد هنا. الناتج مساحة مسقط أفقي وليس مساحة سطح مائل أو اعتماداً عقارياً. وتُرفض الحدود المنعدمة والمتكررة والمتقاطعة.
للدراسة والفهم، لا لاعتماد منشأ حقيقي أو عملية في الموقع أو تصميم. تتطلب الأعمال الفعلية الكود والملحق الوطني الصحيحين ومراجعة مهنية.
فهمت فكرة. واصل التعلّم.
تُحفظ العلامة الاختيارية في هذا المتصفح فقط. هي ملاحظة تقدّم شخصية وليست شهادة.
المصادر وللمزيد من القراءة
تفتح المراجع في تبويب جديد وتشرح المبادئ الأساسية. النص التعليمي والأمثلة هنا من إعداد SimpleFlick؛ ولا يعني الاستشهاد اعتماد الجهات المصدر لهذه الحاسبة.
موضوع القراءة: مساحة المضلع — طريقة رباط الحذاء. حسابات إحداثيات المساحة والترافيرس: حدد أصل السمت واتجاه الدوران ووحدات الإحداثيات المستوية قبل حساب المركبات أو المساحة.
- U.S. Army Corps of Engineers — Control and Topographic Surveying, EM 1110-1-1005 (2007)
- MIT OpenCourseWare — Multivariable Calculus: Green’s theorem and area (18.02SC, 2010)
آخر تحديث للدرس: · فُحص المثالان والمسألة التدريبية المستقلة مقابل تنفيذ عددي مستقل عالي الدقة. يتحقق ذلك من الحساب للنموذج المحدد، ولا يُعد اعتماداً هندسياً.